Das Monty-Hall-Problem: Eine Lektion aus einer Gameshow für Glücksspieler

Let’s Make A Deal war eine der größten Gameshows in den USA, mit dem Kanadier Monty Hall, der fantastische Rätsel und Puzzle erstellte. Das berühmteste Spiel in der Show war das Monty-Hall-Problem, bei dem die Gäste aus einer von drei Türen wählen mussten. Zwei der Türen hatten “Nicht-Preise” oder nichts, was wirklich gewonnen werden konnte. Aber hinter einer der drei Türen stand ein brandneues Auto, das von einem glücklichen Teilnehmer gewonnen werden konnte.

Das Spiel ist nicht so einfach, wie es auf den ersten Blick scheint. Monty Hall hat ein fantastisches Puzzle erstellt, bei dem man seine Chancen auf einen Gewinn wirklich erhöhen kann. Aber die Lösung fühlt sich kontraintuitiv an, und es ist ein Beispiel dafür, wie unser Instinkt nicht immer der mathematischen Realität oder Logik folgt.

Was ist das Monty-Hall-Problem

Das Spiel wurde mit einem jetzt ikonischen Spruch vorgestellt:

“Möchten Sie Tür Nr. 1, Nr. 2 oder Nr. 3?”

Monty Hall bat die Gäste, eine von drei Türen zu wählen, von denen eine den Hauptpreis enthielt. Nachdem sie eine Tür gewählt hatten, öffnete er eine andere Tür, die einen der Nicht-Preise enthüllte.

Dann hatte der Gast die Chance, entweder bei seiner ursprünglichen Tür zu bleiben oder die letzte Tür zu wählen. Hall wusste immer, wo der Hauptpreis war, und öffnete immer eine Tür, die den Preis nicht enthielt.

Die Wahrscheinlichkeiten im Detail

Die grundlegende Annahme hier wäre, dass man eine 50-50-Chance auf einen Gewinn hat, weil man am Ende zwischen zwei Türen wählen muss. Aber das ist nicht der Fall. Die Chancen am Anfang sind 1 zu 3, und diese Chancen bleiben auch nach dem Öffnen der zweiten Tür bestehen. Durch das Wechseln erhöht man tatsächlich seine Chancen auf einen Gewinn von 1/3 auf 2/3. Lassen Sie uns das schnell aufschlüsseln:

• Bevor eine Tür gewählt wird, hat man eine 1 zu 3 Chance auf einen Gewinn
• Monty Hall streicht eine der Optionen, so dass man zwischen zwei Türen wählen kann
• Wenn man bei seiner ursprünglichen Tür bleibt, bleiben die Chancen bei 1 zu 3
• Wenn man wechselt, geht man von einer 1 zu 3 Chance auf eine 2 zu 3 Chance über

Nehmen wir an, Sie wählen den Hauptpreis am Anfang, es gibt eine 1 zu 3 Chance, dies zu tun. In diesem Fall verliert man, wenn man wechselt. Aber es gibt eine 2 zu 3 Chance, einen Nicht-Preis zu wählen, und das Wechseln gibt einem automatisch den Hauptpreis. Die Chancen ändern sich nicht nach dem Öffnen der Tür, aber das Spiel ist so konzipiert, dass die Teilnehmer denken, ihre Chancen auf einen Gewinn gehen von 1/3 auf 1/2 über.

Wie dies mit Glücksspiel in Verbindung steht

Monty Hall hat einen sehr wichtigen Punkt für Glücksspieler angesprochen. Die Rolle der Wahrscheinlichkeit in Casinospiele und wie wir unsere Chancen auf einen Gewinn wahrnehmen. Es zeigt, wie unser Instinkt kontraintuitiv sein kann und dass die mathematischen Chancen das Einzige sind, was für Glücksspieler wichtig ist. Oft kann unser Instinkt gegen uns arbeiten und dazu führen, dass einige Spieler Glücksspieler-Fehlschlüsse während des Spiels bilden.

Typischer Glücksspieler-Fehlschluß

Die meisten Fehlschlüsse basieren auf unserer Art, über Zufall und Chance nachzudenken. Wir lieben es, Rätsel zu lösen oder Lösungen für Probleme zu finden, indem wir Logik oder Vernunft verwenden. Aber Casinospiele funktionieren nicht so. Die Ergebnisse können nicht durch eine Formel erklärt werden, man kann nicht historische Ergebnisse verwenden, um vorherzusagen, was als Nächstes passieren wird.

Der klassische Glücksspieler-Fehlschluß verwendet historische Daten, um vorherzusagen, was in der nächsten Runde passieren wird. Es wird am besten mit einer einfachen Zwei-Wege-Wette erklärt. Nehmen wir an, Sie ziehen Karten und wetten darauf, ob sie rot oder schwarz sind. Es gibt 52 Karten in einem Standard-Deck, 26 davon sind rot und 26 schwarz. Dies bedeutet, dass die Chancen, entweder rot oder schwarz zu ziehen, 50-50 sind. Um es perfekt fair zu machen, wird das Deck nach jedem Zug immer neu gemischt, sodass die bereits gezogenen Karten nicht aus dem Spiel genommen werden.

Nehmen wir an, Sie dann sechs schwarze Karten in Folge ziehen. Der Glücksspieler-Fehlschluß ist, zu glauben, dass es eine größere Chance gibt, dass die siebte Karte rot ist. Schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, sieben schwarze Karten in Folge zu ziehen, 1 zu 128 (2 hoch 7). Aber das ist nicht so, wie es funktioniert. Die Chancen sind immer 1 zu 2 am Anfang jedes Zuges. Die Ergebnisse können sehr unwahrscheinlich sein, aber sie sind völlig zufällig. Sie sind nicht “überfällig” für eine rote Karte, um die Ergebnisse auszugleichen.

Wie die Varianz die Wahrscheinlichkeit beeinflusst

Wenn wir jedoch Millionen von Runden spielen würden, würde die Anzahl der roten und schwarzen Gewinne beginnen, sich auszugleichen. Je mehr Runden man simuliert, desto größer ist die Chance, dass die Ergebnisse den tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten eines Gewinns ähneln. Der Schlüsselbegriff hier ist Varianz. Varianz ist die Messung, wie sehr die Ergebnisse von den tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten eines Gewinns abweichen. Zum Beispiel, wenn Sie 25 Runden von Französischem Roulette spielen und zwei Straight-Up-Bets (1 zu 37 Chance) gewinnen, arbeitet die Varianz zu Ihren Gunsten. Ohne Varianz sollten Sie realistisch nur einmal in jedem 37. Zug gewinnen, nicht zweimal in 25.

Varianz kann auch Gewinn- oder Verlustserien bilden. Wie zum Beispiel das Rot-Schwarz-Problem oben. Das Ziehen von sechs schwarzen Karten in Folge ist eine große Abweichung von den 50-50-Chancen auf einen Gewinn. Was sonst darauf hindeuten würde, dass die Ergebnisse zwischen rot und schwarz abwechseln sollten. Im Kurzzeitraum ist die Varianz normalerweise viel höher. Nach der Simulation von Millionen von Runden (Monte-Carlo-Methode) verringert man die Wahrscheinlichkeit von statistischen Anomalien und Zufallsergebnissen, die die Ergebnisse verzerren. Die Ergebnisse werden ausgewogener, im Verhältnis zu den mathematischen Wahrscheinlichkeiten.

Das Denken, dass die Ergebnisse sich ausgleichen sollten, ist ein Glücksspieler-Fehlschluß. Aber auch das Backen der Varianz ist ein Fehlschluß. Zum Beispiel, das Denken, dass die schwarzen Karten auf einer Verlustserie sind und dass man von jetzt an auf rot wetten sollte. Es kann auch im Sportwetten auftreten, wenn ein Team in guter Form ist und die meisten Spiele gewinnt. Der Hot-Hand-Fehlschluß untersucht das Phänomen, wenn Spieler auf Gewinnserien setzen oder glauben, dass bestimmte Ergebnisse wahrscheinlicher sind, trotz der mathematischen Wahrscheinlichkeiten.

Wie das Element der Kontrolle alles ändert

Spiele wie Blackjack, Poker und Video-Poker führen ein Element der Kontrolle ein. Man kann direkt die Ergebnisse beeinflussen, und mit Expertenstrategien können erfahrene Spieler den Bankvorteil verringern. Aber das ändert nicht die Tatsache, dass die Spiele auf Zufall basieren und man unabhängig von seiner Fähigkeit immer noch Glück benötigt.

Ein typischer Fehlschluß, der mit diesen Spielen verbunden ist, ist die Überzeugung, dass Expertenstrategien unfehlbar sind. Schließlich verwendet man mathematisch optimierte Antworten, um das meiste aus jeder Hand zu machen, die man erhält. Aber in Poker kann man immer noch mit einer gewinnenden Hand verlieren. Oder in Blackjack kann man busten oder verlieren, wenn man nicht die wahrscheinlichsten Karten zieht. Diese Strategien werden wahrscheinlich die Chancen auf einen Gewinn erhöhen, aber sie schließen nicht die Möglichkeit aus, dass man am Ende verliert. Denn letztendlich sind Casinospiele so konzipiert, dass das Haus immer einen Vorteil hat. Das wahrscheinlichste Szenario ist, dass man am Ende sein Geld verliert.

Gegenintuition und Instinkt vs. Logik

Lassen Sie uns für einen Moment zu Monty Hall zurückkehren, und es gibt einige Parallelen zwischen seinem Spiel und der Gegenintuition in diesen “fähigkeitsbasierten” Spielen. Zum Beispiel in Video-Poker-Strategien ist die beste Antwort immer, auf die größten Auszahlungen abzuzielen. Selbst wenn man bereits eine niedrig auszahlende Poker-Hand hat, wenn man zwei Karten von einem Royal Flush entfernt ist, sollte man den garantierten kleineren Gewinn aufgeben, um sein Glück mit dem großen Gewinn zu testen. In den meisten Fällen wird es nicht funktionieren, aber man benötigt nur, dass die Varianz einmal zu seinen Gunsten ausschlägt, um mit einem hübschen Gewinn davonzukommen.

Oder in Blackjack-Strategien wird man 12 von 13 Malen dazu aufgefordert, zu verdoppeln, wenn man einen Wert von 10 oder 11 hat. Die einzige Zeit, in der man einfach einen weiteren Kartenzug haben sollte, ist, wenn der Dealer einen Ass hat, in dem Fall der Dealer einen Blackjack ziehen kann. Aber ansonsten sollte man seinen Einsatz verdoppeln und einen weiteren Kartenzug haben. Aber es gibt eine 4 zu 13 Chance, dass man nur bis 16 kommt – in diesem Fall kann der Dealer immer noch Karten ziehen und einen schlagen.

Trotzdem ist die Logik, dass 4 von 13 Mal man eine 10 zieht und einen Score von 20 oder 21 erhält. Und es gibt eine Chance, dass man mit 16, 17, 18 oder 19 den Dealer schlagen kann, oder dass der Dealer bustet. Aber es schließt nicht das Risiko aus, zu verlieren.

Intelligenter spielen und immer die Chancen im Auge behalten

Am Ende des Tages hat das Casino immer einen Vorteil. Die Mathematik sagt, dass Glücksspiel ein verlorene Spiel ist. Wenn man spielt, kann man nicht ausschließen, dass die Chancen gegen einen sind und die Wahrscheinlichkeit darauf hindeutet, dass man sein Geld verliert.

Dennoch kann alles passieren, und mit einer günstigen Varianz kann man auf einem hohen Niveau enden. Man kann eine Stunde lang Blackjack spielen und mit dem doppelten ursprünglichen Bankroll enden. Oder man kann eine Stunde lang Slots spielen und fast nichts gewinnen. Und dann plötzlich einen gigantischen Jackpot gewinnen, nicht nur die Verluste ausgleichen, sondern Tausende von Dollar gewinnen.

Das Wichtigste, was man sich merken sollte, ist, dass die Varianz jederzeit kommen kann. Man ist für zwei Dinge verantwortlich, wenn man Glücksspiel betreibt. Wie viel man spielt – bestimmt, wie lange man spielen kann, bevor man pleite geht. Und die zweite ist, wenn man beschließt, aufzuhören. Man muss in der Lage sein, eine längere Spielsitzung zu überstehen, um gute Varianz zu fangen, aber auch bereit sein, aufzuhören, wenn man vorne liegt, was mit der Übung einfacher wird.