مشكلة مونتي هول: درس من برنامج ألعاب للمقامرين

كان برنامج "لنعقد صفقة" من أكبر برامج الألعاب في الولايات المتحدة، حيث ابتكر الكندي مونتي هول ألغازًا ومعضلات رائعة. وكانت أشهر لعبة في البرنامج هي مشكلة مونتي هول، حيث كان على الضيوف اختيار أحد الأبواب الثلاثة. كان اثنان من هذه الأبواب يحملان "جوائز غير مجزية"، أي لا يستحقان الفوز حقًا. ولكن خلف أحد الأبواب الثلاثة، كانت هناك سيارة جديدة كليًا، تنتظر من يفوز بها.

اللعبة ليست بهذه البساطة التي تبدو عليها للوهلة الأولى. ابتكر مونتي هول لغزًا رائعًا يُمكنك من خلاله زيادة فرص فوزك بشكل كبير. لكن الحل يبدو غير بديهي، وهو مثال واضح على أن الغريزة البشرية لا تتبع دائمًا الحقائق الرياضية أو المنطق.

ما هي مشكلة مونتي هول؟

تم تقديم اللعبة بنكتة أيقونية الآن:

هل تريد الباب رقم 1، رقم 2، أو رقم 3؟

كان مونتي هول يطلب من الضيوف اختيار واحد من بين ثلاثة أبواب، وكان أحد هذه الأبواب يحمل الجائزة الكبرى. وبعد اختيارهم لأحدها، كان يفتح بابًا آخر، يكشف عن أحد الأبواب غير المخصصة للجوائز.

بعد ذلك، تُتاح للضيف فرصة اختيار بابه الأول أو الأخير. كان هول يعرف دائمًا مكان الجائزة الكبرى، وكان دائمًا يفتح بابًا لا يحمل تلك الجائزة.

تحليل الاحتمالات

الافتراض الأساسي هنا هو أن لديك نسبة 50-50 فرصة للفوز لأنه في النهاية، عليك الاختيار بين بابين. لكن هذا ليس صحيحًا. احتمالات الفوز في البداية هي ١ من ٣، وتبقى هذه الاحتمالات حتى بعد فتح الباب الثاني. بالتبديل، تزيد فرص فوزك من ١/٣ إلى ٢/٣. لنشرح الأمر باختصار:

• قبل اختيار الباب، لديك فرصة 1 من 3 للفوز
• يقوم مونتي هول بشطب أحد الخيارات، لذا يتبقى لك تخمين بين بابين
• بالالتزام ببابك الأول، تظل فرصك 1 من 3
• عندما تقوم بالتبديل، فإنك تنتقل من فرصة 1 إلى 3، إلى فرصة متبادلة 2 إلى 3.

لنفترض أنك اخترت الجائزة الكبرى في البداية، فاحتمالية فوزك هي ١ من ٣. في هذه الحالة، ستخسر بالتبديل. لكن احتمالية فوزك بلعبة غير جائزة هي ٢ من ٣، والتبديل سيمنحك الجائزة الكبرى تلقائيًا. لا تتغير الاحتمالات بعد فتح الباب، ولكن اللعبة مصممة لجعل المتسابقين يعتقدون أن فرص فوزهم تقل من ١/٣ إلى ١/٢.

كيف يرتبط هذا بالمقامرة

لقد تطرق مونتي هول إلى نقطة مهمة للغاية بالنسبة للمقامرين. وهي دور الاحتمالات في ألعاب الكازينو، وكيف نتصور فرصنا في الفوز. ويوضح كيف يمكن أن تكون الغريزة الغريزية غير بديهية، وأن الاحتمالات الرياضية هي الشيء الوحيد المهم بالنسبة للمقامرين. وفي كثير من الأحيان، يمكن أن تعمل غرائزنا ضدنا وتؤدي إلى تكوين بعض اللاعبين لرهانات غير منطقية. مغالطات المقامر أثناء اللعب.

مغالطة المقامر النموذجية

معظم المغالطات مبنية على كيفية تفكيرنا العشوائية والصدفةنحن نعشق حل الألغاز أو إيجاد حلول للمشكلات، مستخدمين المنطق والعقل. لكن ألعاب الكازينو لا تسير بهذه الطريقة. لا يمكن تفسير النتائج بأي صيغة، ولا يمكن استخدام النتائج التاريخية للتنبؤ بما سيحدث لاحقًا.

مغالطة المقامر الكلاسيكية تستخدم البيانات التاريخية للتنبؤ بما سيحدث في الجولة التالية. ويمكن تفسيرها بشكل أفضل برهان بسيط ثنائي الاتجاه. لنفترض أنك سحبت أوراقًا وراهنت على ما إذا كانت ستكون حمراء أم سوداء. تحتوي مجموعة أوراق اللعب القياسية على 52 ورقة، 26 منها حمراء و26 سوداء. هذا يعني أن احتمالات سحب إما الأحمر أو الأسود هي 50-50. ولجعل الأمر عادلًا تمامًا، يُعاد خلط أوراق اللعب دائمًا بعد كل سحب، وبالتالي لا تُستبعد الأوراق المسحوبة من اللعبة.

لنفترض أنك سحبت ست بطاقات سوداء متتالية. مغالطة المقامر هي الاعتقاد بأن هناك احتمالًا أكبر لأن تكون البطاقة السابعة حمراء. في النهاية، احتمال سحب الأسود سبع مرات متتالية هو ١ من ١٢٨ (٢ أس ٧). لكن هذه ليست الطريقة التي تسير بها الأمور. الاحتمالات دائمًا ١ من ٢ في بداية كل سحب. قد تكون النتائج غير محتملة، لكنها عشوائية تمامًا. لستَ بحاجة إلى بطاقة حمراء لموازنة النتائج.

كيف يؤثر التباين على الاحتمالية

ولكن إذا استمررنا في اللعب لملايين الجولات، فإن عدد مرات الفوز باللونين الأحمر والأسود سيبدأ في الموازنة. وكلما زاد عدد الجولات التي تحاكيها، زادت فرصة تشابه النتائج بشكل وثيق مع الاحتمالات الفعلية للفوز بأي منهما. والكلمة الأساسية هنا هي فرقالتباين هو مقياس لمدى انحراف النتائج عن الاحتمالات الحقيقية للفوز. على سبيل المثال، إذا لعبت 25 جولة من الروليت الفرنسية وإذا فزت بمراهنتين متتاليتين (احتمالية 2 من 1)، فإن التباين يعمل لصالحك. وفي حالة عدم وجود تباين، فمن المنطقي أن تفوز فقط مرة واحدة كل 37 جولةوليس مرتين في 25.

يمكن أن يشكل التباين أيضًا سلسلة من الفوز أو الخسارة. مثل معضلة الأحمر/الأسود أعلاه. إن سحب 6 بطاقات سوداء على التوالي يشكل انحرافًا كبيرًا عن احتمالات الفوز التي تبلغ 50-50. وهو ما قد يشير بخلاف ذلك إلى أن النتائج يجب أن تتناوب بين الأحمر والأسود. في الأمد القريب، يكون التباين أعلى كثيرًا بشكل عام. بعد محاكاة ملايين الجولات (طريقة مونت كارلو)، فإنك بذلك تقلل من احتمالية حدوث شذوذ إحصائي ونتائج عشوائية تؤدي إلى تشويه النتائج. وسوف تصبح النتائج أكثر توازناً، بما يتناسب مع الاحتمالات الرياضية.

الاعتقاد بأن النتائج يجب أن تكون متوازنة هو مغالطة المقامر. ومع ذلك، فإن دعم التباين هو أيضًا مغالطة. على سبيل المثال، الاعتقاد بأن الفريق الأسود في سلسلة هزائم، ومن الآن فصاعدًا، يجب عليك الالتزام بالمراهنة على الفريق الأحمر. قد يحدث هذا حتى في المراهنات الرياضية، عندما يكون الفريق في حالة جيدة ويفوز في معظم المباريات. مغالطة اليد الساخنة تدرس هذه الدراسة الظاهرة التي تنشأ عندما يشتري اللاعبون سلسلة من الانتصارات، أو يعتقدون أن بعض النتائج من المرجح أن تحدث على الرغم من الاحتمالات الرياضية.

كيف يغير عنصر التحكم كل شيء

تقدم ألعاب مثل البلاك جاك والبوكر والفيديو بوكر عنصرًا من عناصر التحكم. يمكنك التأثير بشكل مباشر على النتيجة في هذه الألعاب، وباستخدام استراتيجيات الخبراء، يمكن للاعبين المهرة تقليل حافة المنزلولكن هذا لا ينفي حقيقة أن الألعاب تعتمد على الحظ، وبغض النظر عن مدى جودة أدائك، فستظل بحاجة إلى الحظ إلى جانبك.

من المغالطات الشائعة المرتبطة بهذه الألعاب الاعتقاد بأن استراتيجيات الخبراء لا تقبل الخطأ. ففي النهاية، تستخدم استجابات مُحسَّنة رياضيًا لتحقيق أقصى استفادة من أي يد تُوزَّع عليك. ولكن في البوكر، لا يزال من الممكن أن تخسر في يد رابحة. وفي البلاك جاك، قد تُفلس أو تخسر أمام الموزع إذا لم تسحب الأوراق الأكثر احتمالًا. من المرجح أن تُعزز هذه الاستراتيجيات فرص فوزك، لكنها لا تستبعد احتمال خسارتك على المدى الطويل. فلنكن صريحين، صُممت ألعاب الكازينو لمنح الكازينو أفضلية دائمًا. السيناريو الأكثر احتمالًا هو أنك ستخسر أموالك في النهاية.

الحدس المضاد والغريزة في مواجهة المنطق

بالعودة إلى مونتي هول لمدة دقيقة، هناك بعض أوجه التشابه بين لعبته والحدس المضاد في هذه العاب تعتمد على المهارة. على سبيل المثال ، في استراتيجيات لعبة البوكر الفيديوإن أفضل استجابة هي دائمًا السعي للحصول على أكبر قدر من المدفوعات. حتى لو كان لديك بالفعل حساب منخفض الدفع يد لعبة البوكرإذا كنتَ على بُعد بطاقتين من الوصول إلى "الفلوش الملكي"، فعليكَ التخلي عن الفوز الأصغر المضمون لاختبار حظك في الفوز الكبير. في معظم الحالات، لن يُؤتي هذا ثماره، ولكن يكفي أن يتأرجح التباين في صالحك مرة واحدة فقط لتحصل على ربحٍ مجزٍ.

أو في استراتيجيات لعبة ورق12 مرة من أصل 13 مرة يُطلب منك مضاعفة أسفل إذا كانت قيمة ورقك 10 أو 11، فإن الوقت الوحيد الذي يجب عليك فيه أن تضرب هو عندما يكون لدى الموزع الآس، وفي هذه الحالة قد يسحب بلاك جاك. ولكن بخلاف ذلك، يجب عليك مضاعفة رهانك والضرب. ولكن هناك فرصة 4 من 13 أن تحصل على 16 فقط - وفي هذه الحالة لا يزال بإمكان الموزع سحب البطاقات والتغلب عليك.

مع ذلك، من المنطقي أنك ستسحب 4 أوراق من أصل 13 مرة وتحصل على 10 أو 20 نقطة. وهناك احتمال أن تتغلب أوراقك التي تحمل الرقم 21 أو 16 أو 17 أو 18 على الموزع، أو تُجبره على الإفلاس. لكن هذا لا يُستبعد خطر الخسارة.

العب بذكاء وتذكر دائمًا الاحتمالات

في نهاية المطاف، سيكون للكازينو دائمًا أفضلية. تقول الرياضيات المقامرة لعبة خاسرةعندما تلعب، لا يمكنك استبعاد حقيقة أن الاحتمالات ضدك، وأن الاحتمال يشير إلى خسارتك لأموالك.

ولكن أي شيء يمكن أن يحدث، ومع وجود سلسلة من التباينات المصادفة، قد تنتهي اللعبة بفوز كبير. قد تلعب لعبة البلاك جاك لمدة ساعة وتحصل على ضعف رصيدك الأولي. أو تلعب ألعاب السلوتس لمدة ساعة وتربح القليل جدًا. ثم فجأة الفوز بالجائزة الكبرى الضخمة، ليس فقط خفض خسائرك إلى 0، بل وضعك في الربح بآلاف الدولارات.

الشيء المهم الذي يجب تذكره هو أن التباين قد يأتي في أي وقت. أنت مسؤول عن أمرين عندما تقامر. مقدار ما تلعب به - تحديد المدة التي يمكنك اللعب بها قبل الإفلاس. والثاني هو عندما تقرر التوقف. يجب أن تكون قادرًا على الاستمرار في جلسة لعب أطول للحصول على أي تباين جيد، ولكن أيضًا كن مستعدًا للتوقف وأنت في المقدمة، وهو أمر يصبح أسهل مع الممارسة.