मोंटी हॉल समस्या: जुआरियों के लिए एक गेम शो का सबक

लेट्स मेक ए डील अमेरिका में सबसे बड़े गेम शो में से एक था, जिसमें कनाडाई मोंटी हॉल ने शानदार पहेलियाँ और पहेलियाँ बनाईं। शो पर सबसे प्रसिद्ध खेल मोंटी हॉल समस्या थी, जहाँ मेहमानों को तीन दरवाजों में से एक को चुनना था। तीन दरवाजों में से दो के पीछे “गैर-पुरस्कार” थे, या वास्तव में जीतने के लायक कुछ नहीं था। लेकिन तीनों में से एक के पीछे, एक बिल्कुल नया कार था, जो एक भाग्यशाली प्रतिभागी द्वारा जीतने के लिए इंतजार कर रहा था।

यह खेल पहली नज़र में इतना सरल नहीं है जितना लगता है। मोंटी हॉल ने एक शानदार पहेली बनाई जहाँ आप वास्तव में जीतने की अपनी संभावनाओं को बढ़ा सकते हैं। लेकिन समाधान अंतर्ज्ञान के विरुद्ध लगता है, और यह एक प्रमुख उदाहरण है कि कैसे मानव संवेग हमेशा गणितीय तथ्य या तर्क का पालन नहीं करता है।

मोंटी हॉल समस्या क्या है

खेल एक अब प्रतिष्ठित टिप्पणी के साथ प्रस्तुत किया गया था:

“क्या आप दरवाजा नं। 1, नं। 2, या नं। 3 चाहते हैं?”

मोंटी हॉल ने मेहमानों से 3 दरवाजों में से 1 को चुनने के लिए कहा, जिसमें से एक में ग्रैंड प्राइज था। वे जब एक को चुनते हैं, तो वह एक और दरवाजा खोलता है, जो एक गैर-पुरस्कार का खुलासा करता है।

फिर, मेहमान के पास या तो अपने प्रारंभिक दरवाजे के साथ रहने या अंतिम दरवाजे को चुनने का मौका होता है। हॉल हमेशा जानता था कि ग्रैंड प्राइज कहाँ था, और हमेशा एक दरवाजा खोलता था जिसमें वह पुरस्कार नहीं था।

संभावनाओं को तोड़ना

यहाँ की बुनियादी धारणा यह होगी कि आपके पास जीतने का 50-50 मौका है क्योंकि अंत में, आपको 2 दरवाजों के बीच चुनना होगा। लेकिन ऐसा नहीं है। शुरुआत में संभावनाएं 1 में 3 हैं, और वे दूसरे दरवाजे के खुलने के बाद भी बनी रहती हैं। स्वैप करके, आप वास्तव में जीतने की अपनी संभावना को 1/3 से 2/3 तक बढ़ाते हैं। आइए इसे जल्दी से तोड़ दें:

• एक दरवाजा चुनने से पहले, आपके पास जीतने का 1 में 3 मौका है
• मोंटी हॉल एक विकल्प को खारिज कर देता है, इसलिए आपके पास 2 दरवाजों के बीच एक अनुमान लगाने का अवसर है
• अपने प्रारंभिक दरवाजे पर बने रहने से, आपकी संभावनाएं 1 में 3 बनी रहती हैं
• जब आप स्वैप करते हैं, तो आप 1 में 3 मौके से 2 में 3 तक जाते हैं

मान लें कि आप शुरुआत में ग्रैंड प्राइज चुनते हैं, ऐसा करने का 1 में 3 मौका है। उस स्थिति में, स्वैप करने से आप हार जाएंगे। लेकिन 2 में 3 मौका है कि आप एक गैर-पुरस्कार चुनेंगे, और स्वैप करने से आपको स्वचालित रूप से ग्रैंड प्राइज मिल जाएगा। संभावनाएं दूसरे दरवाजे के खुलने के बाद नहीं बदलती हैं, लेकिन खेल प्रतिभागियों को यह सोचने के लिए डिज़ाइन किया गया है कि उनकी जीतने की संभावना 1/3 से 1/2 हो जाती है।

यह जुआरियों से कैसे संबंधित है

मोंटी हॉल ने जुआरियों के लिए एक बहुत ही महत्वपूर्ण बिंदु पर प्रकाश डाला। कैसिनो गेम्स में संभावना की भूमिका और हम अपनी जीतने की संभावनाओं को कैसे देखते हैं। यह दिखाता है कि कैसे हमारी प्रवृत्ति हमारे खिलाफ काम कर सकती है और कुछ खिलाड़ियों को जुआरी की गलतियाँ बनाने के लिए प्रेरित कर सकती है।

आम जुआरी की गलती

अधिकांश गलतियाँ यह जानने पर आधारित होती हैं कि हम यादृच्छिकता और संभावना के बारे में कैसे सोचते हैं। हम पहेलियों को हल करना या समस्याओं का समाधान करना पसंद करते हैं, तर्क या तर्क का उपयोग करके। लेकिन कैसिनो गेम्स ऐसे नहीं काम करते हैं। परिणाम किसी सूत्र द्वारा नहीं समझाए जा सकते हैं, आप ऐतिहासिक परिणामों का उपयोग अगले दौर में क्या होगा इसकी भविष्यवाणी करने के लिए नहीं कर सकते हैं।

क्लासिक जुआरी की गलती ऐतिहासिक डेटा का उपयोग करके अगले दौर में क्या होगा इसकी भविष्यवाणी करने के लिए की जाती है। यह एक सरल दो-तरफ़ा दांव के साथ सबसे अच्छा समझाया जा सकता है। मान लें कि आप कार्ड खींच रहे हैं और यह दांव लगा रहे हैं कि वे लाल या काले होंगे। एक मानक डेक में 52 कार्ड होते हैं, जिनमें से 26 लाल और 26 काले होते हैं। इसका मतलब है कि लाल या काले कार्ड खींचने की संभावना 50-50 है। इसे पूरी तरह से न्यायसंगत बनाने के लिए, डेक को हर ड्रा के बाद हमेशा फिर से मिलाया जाता है, इसलिए पहले से खींचे गए कार्ड गेम से बाहर नहीं होते हैं।

मान लें कि आप फिर 6 काले कार्ड एक के बाद एक खींचते हैं। जुआरी की गलती यह मानना है कि 7वें कार्ड के लाल होने की संभावना अधिक है। आखिरकार, 7 बार काले कार्ड खींचने की संभावना 1 में 128 (2 की शक्ति 7) है। हालांकि, यह ऐसे नहीं काम करता है। प्रत्येक ड्रा की शुरुआत में संभावनाएं हमेशा 1 में 2 होती हैं। परिणाम बहुत असंभव हो सकते हैं, लेकिन वे पूरी तरह से यादृच्छिक हैं। आप लाल कार्ड के “पर्याप्त” नहीं हैं ताकि परिणामों को संतुलित किया जा सके।

विचरण संभावना को कैसे प्रभावित करता है

फिर भी, यदि हम लाखों राउंड तक खेलते रहें, तो लाल और काले जीत की संख्या संतुलित होने लगेगी। जितने अधिक राउंड आप सिम्युलेट करते हैं, उतनी ही अधिक संभावना है कि परिणाम वास्तविक जीतने की संभावनाओं के करीब होंगे। महत्वपूर्ण शब्द यहाँ विचरण है। विचरण जीतने की वास्तविक संभावनाओं से परिणामों के विचलन का माप है। उदाहरण के लिए, यदि आप फ्रेंच रूले के 25 राउंड खेलते हैं और 2 सीधे अप बेट (1 में 37 का मौका) जीतते हैं, तो विचरण आपके पक्ष में काम कर रहा है। कोई विचरण के साथ, आपको वास्तव में 37 में से 1 बार जीतना चाहिए, न कि 25 में से 2 बार।

विचरण जीतने या हारने की लकीरें भी बना सकता है। जैसे कि ऊपर का लाल/काला संघर्ष। 6 काले कार्ड एक के बाद एक खींचना जीतने की 50-50 संभावनाओं से एक बड़ा विचलन है। जो अन्यथा सुझाव देगा कि परिणाम लाल और काले के बीच वैकल्पिक होना चाहिए। छोटी अवधि में, विचरण आमतौर पर अधिक होता है। लाखों राउंड की सिम्युलेशन (मोंटे कार्लो विधि) के बाद, आप सांख्यिकीय विचित्रता और फ्लूक परिणामों को विकृत करने की संभावना को कम कर देते हैं। परिणाम अधिक संतुलित होंगे, गणितीय संभावनाओं के अनुपात में।
सोचते हैं कि परिणाम संतुलित होना चाहिए यह एक जुआरी की गलती है। लेकिन विचरण का समर्थन करना भी एक गलती है। उदाहरण के लिए, सोचते हैं कि काले रंग की जीत की लकीर है और अब से आपको लाल पर दांव लगाना चाहिए। यह खेल सट्टेबाजी में भी हो सकता है, जब एक टीम अच्छी फॉर्म में है और अधिकांश गेम जीत रही है। हॉट हैंड फॉलेसी तब होती है जब खिलाड़ी जीतने की लकीरों में विश्वास करते हैं या सोचते हैं कि कुछ परिणाम गणितीय संभावनाओं के बावजूद अधिक होने की संभावना है।

नियंत्रण का तत्व सब कुछ बदल देता है

ब्लैकजैक, पोकर और वीडियो पोकर जैसे गेम एक नियंत्रण तत्व पेश करते हैं। आप इन गेम्स में सीधे परिणाम को प्रभावित कर सकते हैं, और विशेषज्ञ रणनीतियों के साथ, कुशल खिलाड़ी हाउस एज को कम कर सकते हैं। लेकिन इससे यह तथ्य नहीं बदलता है कि गेम यादृच्छिकता पर चलते हैं, और कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कितने अच्छे हैं, आपको अभी भी अपनी ओर से भाग्य की आवश्यकता होगी।

इन खेलों से जुड़ी एक आम गलती यह मानना है कि विशेषज्ञ रणनीतियाँ अक्षय हैं। आखिरकार, आप हर हाथ में सबसे अच्छा लाभ पाने के लिए गणितीय रूप से अनुकूलित प्रतिक्रियाओं का उपयोग करते हैं। लेकिन पोकर में, आप अभी भी एक जीतने वाले हाथ पर हार सकते हैं। या ब्लैकजैक में, आप बस्ट हो सकते हैं या डीलर को हरा सकते हैं यदि आप सबसे संभावित कार्ड नहीं खींचते हैं। ये रणनीतियाँ आपकी जीतने की संभावनाओं को बढ़ाने की संभावना है, लेकिन वे यह नहीं कहती हैं कि लंबे समय में, आप अपना पैसा नहीं खोएंगे। क्योंकि चलो इसका सामना करते हैं, कैसिनो गेम हमेशा हाउस को एक एज देने के लिए डिज़ाइन किए जाते हैं। सबसे संभावित परिदृश्य यह है कि अंततः, आप अपना पैसा खो देंगे।

विरोधाभास और प्रवृत्ति बनाम तर्क

मोंटी हॉल पर वापस जाने के लिए, और इन “कौशल आधारित” खेलों में कुछ समानताएं हैं। उदाहरण के लिए, वीडियो पोकर रणनीतियों में, सबसे अच्छा जवाब हमेशा सबसे बड़े पुरस्कार के लिए लक्ष्य रखना है। भले ही आपके पास पहले से ही एक कम-भुगतान वाला पोकर हाथ है, यदि आप रॉयल फ्लश मारने से 2 कार्ड दूर हैं, तो आपको एक छोटी जीत की गारंटी को छोड़ देना चाहिए और एक बड़ी जीत बनाने की कोशिश करनी चाहिए। अधिकांश मामलों में, यह काम नहीं करेगा, लेकिन आपको केवल विचरण को एक बार अपने पक्ष में मिलाने की जरूरत है ताकि आप एक बड़ा पुरस्कार ले सकें।
या ब्लैकजैक रणनीतियों में, 12 में से 13 बार आपको डबल डाउन करने के लिए कहा जाता है यदि आपके पास 10 या 11 का मूल्य है। एकमात्र समय आप बस हिट करना चाहिए जब डीलर के पास एक एस है, जिसमें वे एक ब्लैकजैक खींच सकते हैं। लेकिन अन्यथा, आपको अपने दांव को दोगुना करना चाहिए और हिट करना चाहिए। लेकिन 4 में से 13 मौका है कि आप केवल 16 तक पहुंचेंगे – जिस स्थिति में डीलर अभी भी कार्ड खींच सकता है और आपको हरा सकता है।

फिर भी, तर्क यह है कि 4 में से 13 बार आप 10 खींचेंगे और 20 या 21 का स्कोर प्राप्त करेंगे। और 16, 17, 18, या 19 के साथ आपके डीलर को हराने या उन्हें बस्ट करने के लिए मजबूर करने का एक मौका है। लेकिन इससे जोखिम को खत्म नहीं किया जा सकता है।

स्मार्ट खेलें और हमेशा संभावनाओं को याद रखें

अंत में, कैसिनो में हमेशा एक एज होगी। गणित कहता है कि जुआ एक खोने वाला खेल है। जब आप खेलते हैं, तो आप यह नहीं मान सकते कि संभावनाएं आपके खिलाफ हैं और संभावना आपके पैसे खोने की ओर इशारा करती है।

फिर भी, कुछ भी हो सकता है, और एक भाग्यशाली विचरण के साथ, आप उच्च पर समाप्त हो सकते हैं। आप एक घंटे के लिए ब्लैकजैक खेल सकते हैं और अपने प्रारंभिक बैंकरोल को दोगुना कर सकते हैं। या एक घंटे के लिए स्लॉट खेलें और लगभग कुछ भी नहीं जीतें। और फिर अचानक एक विशाल जैकपॉट मारें, न केवल अपने नुकसान को शून्य करने के लिए, बल्कि आपको हरा देने के लिए हजारों डॉलर।

महत्वपूर्ण बात यह याद रखना है कि विचरण किसी भी समय आ सकता है। जब आप जुआ खेलते हैं तो आपके पास दो चीजों का नियंत्रण है। एक यह कि आप कितना खेलते हैं – यह निर्धारित करना कि आप कितनी देर तक खेल सकते हैं trước कि आप दिवालिया हो जाएं। और दूसरा यह है कि जब आप छोड़ने का फैसला करते हैं। आपको लंबे समय तक खेलने में सक्षम होने के लिए अच्छे विचरण को पकड़ने के लिए, लेकिन साथ ही साथ अग्रिम में छोड़ने के लिए तैयार रहना चाहिए, जो अभ्यास के साथ आसान हो जाता है।