मोंटी हॉल समस्या: जुआरियों के लिए एक गेम शो का सबक

"लेट्स मेक अ डील" अमेरिका के सबसे बड़े गेम शो में से एक था, जहाँ कनाडा के मोंटी हॉल ने शानदार पहेलियाँ और पहेलियाँ रचीं। शो का सबसे मशहूर खेल मोंटी हॉल प्रॉब्लम था, जिसमें मेहमानों को तीन दरवाजों में से एक चुनना था। दो दरवाजों पर "बिना इनाम" के, यानी जीतने लायक कुछ भी नहीं था। लेकिन उन तीन दरवाजों में से एक के पीछे एक बिल्कुल नई कार खड़ी थी, जिसे कोई भाग्यशाली प्रतियोगी जीत सकता था।

यह खेल उतना आसान नहीं है जितना पहली नज़र में लगता है। मोंटी हॉल ने एक शानदार पहेली तैयार की है जिससे आप अपनी जीत की संभावना वाकई बढ़ा सकते हैं। लेकिन इसका हल सहज ज्ञान के विपरीत लगता है, और यह इस बात का एक बेहतरीन उदाहरण है कि कैसे मानवीय सहज ज्ञान हमेशा गणितीय तथ्य या तर्क का पालन नहीं करता।

मोंटी हॉल समस्या क्या है?

खेल को एक प्रतिष्ठित चुटकुले के साथ प्रस्तुत किया गया था:

“क्या आप दरवाज़ा नं. 1, नं. 2, या नं. 3 चाहते हैं?”

मोंटी हॉल मेहमानों से तीन दरवाजों में से एक को चुनने के लिए कहता था, जिसमें से एक में बड़ा पुरस्कार होता था। जब वे एक को चुन लेते थे, तो वह दूसरा दरवाजा खोलता था, जिसमें से एक गैर-पुरस्कार वाला दरवाजा खुलता था।

फिर, मेहमान को या तो अपने शुरुआती दरवाज़े पर ही रुकना होता था, या आखिरी दरवाज़ा चुनना होता था। हॉल को हमेशा पता होता था कि सबसे बड़ा इनाम कहाँ है, और वह हमेशा ऐसा दरवाज़ा खोलता था जिसमें वह इनाम नहीं होता था।

संभावनाओं का विश्लेषण

यहां मूल धारणा यह होगी कि आपका अनुपात 50-50 है। जीतने का मौका क्योंकि अंत में, आपको दो दरवाजों में से एक चुनना होगा। लेकिन ऐसा नहीं है। शुरुआत में ऑड्स 2 में से 1 होते हैं, और दूसरा दरवाजा खुलने के बाद भी ये ऑड्स बराबर रहते हैं। अदला-बदली करके, आप वास्तव में अपनी जीत की संभावना 3/1 से बढ़ाकर 3/2 कर देते हैं। आइए इसे जल्दी से समझते हैं:

• किसी दरवाज़े को चुने जाने से पहले, आपके पास जीतने का 1 में 3 मौका होता है
• मोंटी हॉल ने विकल्पों में से एक को हटा दिया, इसलिए आपको दो दरवाजों के बीच अनुमान लगाने के लिए छोड़ दिया गया
• अपने शुरुआती दरवाजे पर डटे रहने से आपकी संभावना 1 में से 3 रह जाती है
• जब आप अदला-बदली करते हैं, तो आप 1 में से 3 की संभावना से, पारस्परिक रूप से, 2 में से 3 की संभावना पर पहुंच जाते हैं

मान लीजिए कि आप शुरुआत में ही ग्रैंड प्राइज़ चुन लेते हैं, तो ऐसा होने की संभावना 1 में से 3 है। ऐसे में, अदला-बदली करने पर आप हार जाएँगे। लेकिन बिना इनाम वाली चीज़ चुनने की संभावना 2 में से 3 है, और अदला-बदली करने पर आपको ग्रैंड प्राइज़ अपने आप मिल जाएगा। दरवाज़ा हटाने के बाद संभावनाएँ नहीं बदलतीं, लेकिन खेल इस तरह डिज़ाइन किया गया है कि प्रतियोगियों को लगे कि उनके जीतने की संभावना 1/3 से 1/2 हो गई है।

इसका जुए से क्या संबंध है?

मोंटी हॉल ने जुआरियों के लिए एक बहुत ही महत्वपूर्ण बिंदु को छुआ। कैसीनो खेलों में संभावना की भूमिका, और हम जीतने की अपनी संभावनाओं को कैसे समझते हैं। यह दर्शाता है कि कैसे सहज ज्ञान प्रति-सहज ज्ञान हो सकता है, और गणितीय बाधाएं ही एकमात्र ऐसी चीज है जो जुआरियों के लिए महत्वपूर्ण है। अक्सर, हमारी सहज ज्ञान हमारे खिलाफ काम कर सकती है और कुछ खिलाड़ियों को एक गलत निर्णय लेने के लिए प्रेरित कर सकती है। जुआरी की भ्रांतियां गेमप्ले के दौरान।

विशिष्ट जुआरी का भ्रम

अधिकांश भ्रांतियां इस बात पर आधारित होती हैं कि हम अपने बारे में किस प्रकार सोचते हैं। यादृच्छिकता और मौकाहमें तर्क या बुद्धि का इस्तेमाल करके पहेलियाँ सुलझाना या समस्याओं का हल ढूँढ़ना बहुत पसंद है। लेकिन कैसीनो के खेल इस तरह से काम नहीं करते। परिणामों को किसी भी सूत्र से नहीं समझाया जा सकता, आप ऐतिहासिक परिणामों का इस्तेमाल यह अनुमान लगाने के लिए नहीं कर सकते कि आगे क्या होगा।

जुआरियों का यह पारंपरिक भ्रम अगले दौर में क्या होगा, इसका अनुमान लगाने के लिए ऐतिहासिक आंकड़ों का इस्तेमाल करता है। इसे एक साधारण दो-तरफ़ा दांव से सबसे अच्छी तरह समझा जा सकता है। मान लीजिए आप पत्ते निकाल रहे हैं और इस पर दांव लगा रहे हैं कि वे लाल होंगे या काले। एक मानक डेक में 52 पत्ते होते हैं, जिनमें से 26 लाल और 26 काले होते हैं। इसका मतलब है कि लाल या काला निकलने की संभावना 50-50 है। इसे पूरी तरह से निष्पक्ष बनाने के लिए, हर बार पत्ते निकालने के बाद डेक को हमेशा फेरबदल किया जाता है, ताकि पहले से निकाले गए पत्ते खेल से बाहर न हों।

मान लीजिए कि आप लगातार 6 काले पत्ते निकालते हैं। जुआरी का भ्रम यह मानना ​​है कि सातवें पत्ते के लाल होने की संभावना ज़्यादा है। आख़िरकार, लगातार 7 बार काला पत्ता निकलने की संभावना 7 में 1 (128 की घात 2) है। हालाँकि, यह तरीका काम नहीं करता। हर ड्रॉ की शुरुआत में संभावना हमेशा 7 में 1 होती है। परिणाम काफ़ी असंभाव्य हो सकते हैं, लेकिन वे पूरी तरह से यादृच्छिक होते हैं। परिणामों को संतुलित करने के लिए आपको लाल पत्ता "देर से" नहीं निकालना है।

विचरण संभाव्यता को कैसे प्रभावित करता है

फिर भी अगर हम लाखों राउंड तक खेलते रहें, तो लाल और काले रंग की जीत की संख्या संतुलित होने लगेगी। आप जितने ज़्यादा राउंड सिम्युलेट करेंगे, उतनी ही ज़्यादा संभावना होगी कि नतीजे जीतने की वास्तविक संभावनाओं से काफ़ी हद तक मिलते-जुलते होंगे। यहाँ मुख्य शब्द है झगड़ा. भिन्नता इस बात का माप है कि परिणाम जीतने की वास्तविक बाधाओं से कितना विचलित होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप 25 राउंड खेलते हैं फ्रेंच रूले और 2 सीधे दांव जीतें (1 में से 37 मौका), भिन्नता आपके पक्ष में काम कर रही है। बिना भिन्नता के, आपको वास्तविक रूप से केवल जीतना चाहिए प्रत्येक 37 राउंड में एक बार, 25 में दो बार नहीं।

विचरण से जीत या हार का सिलसिला भी बन सकता है। जैसे कि ऊपर लाल/काला पहेली। लगातार 6 काले कार्ड खींचना जीतने की 50-50 संभावनाओं से बहुत बड़ा विचलन है। जो अन्यथा सुझाव देगा कि परिणाम लाल और काले के बीच बारी-बारी से होने चाहिए। अल्पावधि में, विचरण आम तौर पर बहुत अधिक होता है। लाखों राउंड का अनुकरण करने के बाद (मोंटे कार्लो विधि), आप सांख्यिकीय विसंगतियों और आकस्मिक परिणामों के विकृत होने की संभावना को कम करते हैं। गणितीय बाधाओं के अनुपात में परिणाम अधिक संतुलित हो जाएंगे।

यह सोचना कि परिणाम संतुलित होने चाहिए, जुआरी का भ्रम है। फिर भी, भिन्नता का समर्थन करना भी एक भ्रम है। उदाहरण के लिए, यह सोचना कि काली टीम लगातार हार रही है और अब से आपको लाल पर ही दांव लगाना चाहिए। यह खेल सट्टेबाजी में भी हो सकता है, जब कोई टीम अच्छी फॉर्म में हो और ज़्यादातर मैच जीत रही हो। गरम हाथ का भ्रम यह उन घटनाओं की जांच करता है जब खिलाड़ी लगातार जीत की उम्मीद करते हैं, या यह मानते हैं कि गणितीय बाधाओं के बावजूद कुछ परिणाम होने की अधिक संभावना है।

नियंत्रण का तत्व कैसे सब कुछ बदल देता है

ब्लैकजैक, पोकर और वीडियो पोकर जैसे खेल नियंत्रण का एक तत्व पेश करते हैं। आप इन खेलों में परिणाम को सीधे प्रभावित कर सकते हैं, और विशेषज्ञ रणनीतियों के साथ, कुशल खिलाड़ी परिणाम को कम कर सकते हैं। घर का किनारालेकिन इससे यह तथ्य नकार नहीं सकता कि खेल भाग्य पर चलते हैं, और आप चाहे कितने भी अच्छे क्यों न हो जाएं, आपको फिर भी भाग्य की आवश्यकता होगी।

इन खेलों से जुड़ी एक आम भ्रांति यह धारणा है कि विशेषज्ञ रणनीतियाँ अचूक होती हैं। आखिरकार, आपको जो भी हाथ मिलता है, उसका अधिकतम लाभ उठाने के लिए आप गणितीय रूप से अनुकूलित प्रतिक्रियाओं का उपयोग करते हैं। लेकिन पोकर में, आप जीतते हुए हाथ पर भी हार सकते हैं। या ब्लैकजैक में, अगर आप सबसे संभावित कार्ड नहीं निकालते हैं, तो आप बस्ट हो सकते हैं, या डीलर से हार सकते हैं। ये रणनीतियाँ आपकी जीत की संभावनाओं को बढ़ाएँगी, लेकिन ये इस संभावना से इनकार नहीं करतीं कि लंबे समय में आप हार जाएँगे। क्योंकि सच तो यह है कि कैसीनो के खेल हमेशा घर को बढ़त देने के लिए डिज़ाइन किए जाते हैं। सबसे संभावित परिदृश्य यह है कि अंततः, आप अपना पैसा खो देंगे।

प्रतिअंतर्ज्ञान और सहज वृत्ति बनाम तर्क

एक मिनट के लिए मोंटी हॉल की बात करें तो उनके खेल और उनके प्रति-अंतर्ज्ञान के बीच कुछ समानताएं हैं। “कौशल आधारित” खेल. उदाहरण के लिए, में वीडियो पोकर रणनीतियाँ, सबसे अच्छा जवाब हमेशा सबसे बड़े भुगतान के लिए लक्ष्य रखना है। भले ही आपको पहले से ही कम भुगतान वाला मिल गया हो पोकर हाथअगर आपके पास रॉयल फ्लश जीतने के लिए 2 कार्ड कम हैं, तो आपको बड़ी जीत हासिल करने के लिए अपनी किस्मत आजमाने के लिए गारंटीशुदा छोटी जीत को छोड़ देना चाहिए। ज़्यादातर मामलों में, यह फायदेमंद नहीं होगा, लेकिन आपको एक अच्छा भुगतान पाने के लिए बस एक बार वैरिएंस को अपने पक्ष में करने की ज़रूरत है।

या में लाठी रणनीति, 12 में से 13 बार आपसे कहा जाता है डबल डाउन यदि आपके पास 10 या 11 का मूल्य है। आपको केवल तभी हिट करना चाहिए जब डीलर के पास ऐस हो, जिस स्थिति में वे ब्लैकजैक खींच सकते हैं। लेकिन अन्यथा, आपको अपना दांव दोगुना करना चाहिए और हिट करना चाहिए। लेकिन 4 में 13 की संभावना है कि आप केवल 16 तक ही पहुंच पाएंगे - जिस स्थिति में डीलर अभी भी कार्ड खींच सकता है और आपको हरा सकता है।

फिर भी तर्क यह है कि 4 में से 13 बार आप 10 निकालेंगे और आपको 20 या 21 का स्कोर मिलेगा। और एक मौका यह भी है कि आपका 16, 17, 18, या 19 वाला कार्ड डीलर को हरा दे, या उन्हें बस्ट होने पर मजबूर कर दे। लेकिन इससे हारने का जोखिम भी खत्म नहीं होता।

होशियारी से खेलें और हमेशा बाधाओं को याद रखें

दिन के अंत में, कैसीनो के पास हमेशा बढ़त रहेगी। गणित कहता है जुआ एक हारने वाला खेल हैजब आप खेलते हैं, तो आप इस तथ्य से इंकार नहीं कर सकते कि बाधाएं आपके खिलाफ हैं, और संभावना यह है कि आप अपना पैसा खो देंगे।

फिर भी कुछ भी हो सकता है, और भिन्नता के एक भाग्यशाली दौर के साथ, आप उच्च पर समाप्त कर सकते हैं। आप एक घंटे के लिए ब्लैकजैक खेल सकते हैं और अपने शुरुआती बैंकरोल को दोगुना करके वापस आ सकते हैं। या, एक घंटे के लिए स्लॉट खेलें और लगभग कुछ भी न जीतें। और फिर अचानक एक विशाल जैकपॉट मारोइससे न केवल आपका घाटा शून्य हो जाएगा, बल्कि आपको हजारों डॉलर का फायदा भी होगा।

याद रखने वाली महत्वपूर्ण बात यह है कि भिन्नता कभी भी आ सकती है। जब आप जुआ खेलते हैं तो आप दो चीजों के प्रभारी होते हैं। आप कितना खेलते हैं - यह निर्धारित करना कि आप बस्ट होने से पहले कितनी देर तक खेल सकते हैं। और दूसरा यह है कि आप कब खेलना छोड़ने का फैसला करते हैं। किसी भी अच्छे भिन्नता को पकड़ने के लिए आपको लंबे समय तक गेमिंग सत्र को बनाए रखने में सक्षम होना चाहिए, लेकिन साथ ही जब आप आगे हों तो छोड़ने के लिए तैयार रहें, जो अभ्यास से आसान हो जाता है।