Monty Hall-problemet: En legeshow-læresætning for gamblerne

Lad os lave en aftale var en af de største spilshows i USA, med canadiske Monty Hall, der skabte fantastiske gåder og puslespil. Det mest berømte spil på showet var Monty Hall-problemet, hvor gæsterne skulle vælge en af tre døre. To af dørene havde “ikke-præmier” eller ingenting værd at vinde. Men bag en af de tre døre var der en brand ny bil, der ventede på at blive vundet af en heldig deltager.

Spillet er ikke så enkelt, som det ser ud på første blik. Monty Hall designede en fantastisk gåde, hvor man kunne øge sine chancer for at vinde. Men løsningen føles modsigende, og et klassisk eksempel på, hvordan menneskers instinkt ikke altid følger matematisk fakta eller logik.

Hvad er Monty Hall-problemet

Spillet blev præsenteret med en nu ikonisk bemærkning:

“Vil du have dør nr. 1, nr. 2 eller nr. 3?”

Monty Hall ville bede gæsterne om at vælge en af tre døre, en af dem havde den store præmie. Efter de havde valgt en, ville han åbne en anden dør, der afslørede en af ikke-præmierne.

Derefter ville gæsten have chancen for enten at holde fast ved sin oprindelige dør eller vælge den sidste dør. Hall vidste altid, hvor den store præmie var, og åbnede altid en dør, der ikke havde den præmie.

At bryde ned sandsynlighederne

Den grundlæggende antagelse her ville være, at man har en 50-50 chance for at vinde, fordi man til sidst skal vælge mellem to døre. Men det er ikke tilfældet. Sandsynlighederne i begyndelsen er 1 ud af 3, og disse sandsynligheder forbliver, selv efter at den anden dør er åbnet. Ved at bytte øger man faktisk sin chance for at vinde fra 1/3 til 2/3. Lad os hurtigt bryde det ned:

• Før en dør er valgt, har man en 1 ud af 3 chance for at vinde
• Monty Hall fjerner en af mulighederne, så man er tilbage med en gæt mellem 2 døre
• Ved at holde fast ved sin oprindelige dør forbliver chancerne 1 ud af 3
• Når man bytter, går man fra en 1 ud af 3 chance til den modsatte, 2 ud af 3

Antag, at man vælger den store præmie i begyndelsen, der er en 1 ud af 3 chance for at gøre det. I dette tilfælde vil man tabe, hvis man bytter. Men der er en 2 ud af 3 chance for at vælge en ikke-præmie, og ved at bytte vil man automatisk få den store præmie. Sandsynlighederne ændrer sig ikke efter, at døren er fjernet, men spillet er designet til at få deltagerne til at tro, at deres chancer for at vinde går fra 1/3 til 1/2.

Hvordan dette relaterer til gambling

Monty Hall berørte et meget vigtigt punkt for gamblerne. Rollen af sandsynlighed i casinospil og hvordan vi opfatter vores chancer for at vinde. Det viser, hvordan instinkt kan være modsigende, og at de matematiske sandsynligheder er det eneste, der er vigtigt for gamblerne. Ofte kan vores instinkt arbejde imod os og føre til, at nogle spillere danner gamblerfejl under spillet.

Typisk gamblerfejl

De fleste fejl er baseret på, hvordan vi tænker om tilfældighed og chance. Vi elsker at løse gåder eller finde løsninger på problemer, ved hjælp af logik eller fornuft. Men casinospil fungerer ikke på den måde. Resultaterne kan ikke forklares af nogen formel, man kan ikke bruge historiske resultater til at forudsige, hvad der vil ske næste gang.

Den klassiske gamblerfejl bruger historiske data til at forudsige, hvad der vil ske i næste runde. Det er bedst forklaret med et enkelt to-vejs væddemål. Lad os sige, at man trækker kort og vædder på, om de vil være røde eller sorte. Der er 52 kort i en standard stak, 26 af dem er røde og 26 sorte. Dette betyder, at chancerne for at trække enten rød eller sort er 50-50. For at gøre det helt retfærdigt bliver stakken altid omblandet efter hver trækning, så de allerede trukne kort ikke er taget ud af spillet.

Lad os sige, at man derefter trækker 6 sorte kort i træk. Gamblerfejlen er at tro, at der er en større chance for, at det 7. kort er rødt. Efter alt, sandsynligheden for at trække sort 7 gange i træk er 1 ud af 128 (2 til magten 7). Men det er ikke, hvordan det fungerer. Sandsynlighederne er altid 1 ud af 2 i begyndelsen af hver trækning. Resultaterne kan være ret usandsynlige, men de er helt tilfældige. Man er ikke “overdue” en rød for at balancere resultaterne.

Hvordan varians påvirker sandsynlighed

Men hvis vi var ved at spille i millioner af runder, ville antallet af røde og sorte sejre begynde at balancere ud. Jo flere runder man simulerer, desto større er chancen for, at resultaterne vil ligne de faktiske sandsynligheder for at vinde. Nøgleordet her er varians. Varians er målingen af, hvor meget resultaterne afviger fra de reelle sandsynligheder for at vinde. For eksempel, hvis man spiller 25 runder af fransk roulette og vinder 2 lige op bets (1 ud af 37 chance), arbejder variansen for ens skyld. Uden varians skulle man realistisk set kun vinde én gang ud af 37 runder, ikke to gange ud af 25.

Varians kan også danne vindende eller tabende streaks. Såsom den rød/sort konundrum ovenfor. At trække 6 sorte i træk er en stor afvigelse fra de 50-50 chancer for at vinde. Hvilket ellers ville antyde, at resultaterne skulle skifte mellem rød og sort. På kort sigt er variansen generelt meget højere. Efter at have simuleret millioner af runder (Monte Carlo-metoden), reducerer man sandsynligheden for statistiske anomalier og fluktr resultater, der forvrænger resultaterne. Resultaterne vil blive mere balancerede i forhold til de matematiske sandsynligheder.

At tro, at resultaterne skal balancere ud, er en gamblerfejl. Men at bakke op om variansen er også en fejl. For eksempel, at tro, at sort er på en tabende streak og fra nu af skal man kun satse på rød. Det kan også ske i sportsvæddemål, når et hold er i god form og vinder de fleste kampe. Hot hand-fejlen undersøger fænomenet, når spillere køber ind i vindende streaks eller tror, at visse resultater er mere sandsynlige at ske, på trods af de matematiske sandsynligheder.

Hvordan kontrolelementet ændrer alt

Spil som blackjack, poker og videopoker introducerer et kontrolelement. Man kan direkte påvirke resultaterne i disse spil, og med ekspertstrategier kan dygtige spillere reducere husets fordel. Men det tager ikke bort fra, at spillet kører på tilfældighed, og uanset hvor god man bliver, har man stadig brug for held på sin side.

En typisk fejl i forbindelse med disse spil er overbevisningen om, at ekspertstrategier er ufejlbarlige. Efter alt, man bruger matematisk optimerede svar til at maksimere enhver hånd, man får. Men i poker kan man stadig tabe på en vindende hånd. Eller i blackjack kan man gå bust, eller tabe til dealeren, hvis man ikke trækker de mest sandsynlige kort. Disse strategier vil sandsynligvis forbedre ens chancer for at vinde, men de udelukker ikke muligheden for, at man over længere tid vil tabe. For lad os være ærlige, casinospil er designet til at give huset en fordel. Den mest sandsynlige situation er, at man til sidst vil tabe sine penge.

Modsigelse og instinkt vs. logik

Lad os gå tilbage til Monty Hall for et øjeblik, og der er nogle paralleller mellem hans spil og modsigelse i disse “færdighedsbaserede” spil. For eksempel, i videopokerstrategier, er den bedste respons altid at sigte mod de største gevinster. Selv hvis man allerede har en lavt betalende pokerhånd, hvis man er 2 kort fra at ramme Royal Flush, skal man smide den garanterede mindre gevinst for at teste sin held med at lave den store gevinst. I de fleste tilfælde vil det ikke betale sig, men man har kun brug for, at variansen svinger ens vej én gang for at komme væk med en pæn gevinst.

Eller i blackjackstrategier, 12 ud af 13 gange bliver man bedt om at doble indsatsen, hvis man har en værdi på 10 eller 11. Den eneste gang, man kun skal trække, er, når dealeren har Es, i hvilket tilfælde de måske kan trække en blackjack. Men ellers skal man doble sin indsats og trække. Men der er en 4 ud af 13 chance for, at man kun får op til 16 – hvilket dealer kan stadig trække kort og slå.

Men logikken er, at 4 ud af 13 gange vil man trække 10 og få en score på 20 eller 21. Og der er en chance for, at ens 16, 17, 18 eller 19 stadig kan slå dealeren, eller tvinge dem til at gå bust. Men det udelukker ikke risikoen for at tabe.

Spil smartere og husk altid sandsynlighederne

Til sidst vil casinospillet altid have en fordel. Matematikken siger, at gambling er et tabende spil. Når man spiller, kan man ikke udelukke, at sandsynlighederne er imod én, og at sandsynligheden peger på, at man taber sine penge.

Men hvad som helst kan ske, og med en heldig række af varians kan man slutte på en høj. Man kan spille blackjack i en time og komme væk med dobbelt sin oprindelige bankroll. Eller spille slots i en time og vinde næsten ingenting. Og så pludselig ramme en kæmpe jackpot, ikke kun reducerer ens tab til 0, men sætter én tusinder af dollars op i den grønne.

Det vigtige er at huske, at variansen kan komme når som helst. Man er ansvarlig for to ting, når man gambler. Hvad man spiller for – bestemmer, hvor længe man kan spille, før man går bust. Og det andet er, når man beslutter at stoppe. Man skal være i stand til at holde en længere spillesession for at fange nogen god varians, men også være klar til at stoppe, mens man er foran, noget der bliver lettere med øvelse.